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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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10. Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$.
c) $f(x)=e^{-x^{3}+12 x}$

Respuesta

Vamos a resolver el ejercicio paso a paso, tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada.

1. Primero hallamos el dominio de la función Tanto la función polinómica como la función exponencial están definidos para todos los números reales.
Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es: $ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} $


2. Calculamos la derivada de la función
$ f'(x) = \left(e^{-x^3 + 12x}\right)' $
Usamos la regla de la cadena:
$ f'(x) = e^{-x^3 + 12x} \cdot (-3x^2 + 12) $


3. Buscamos los puntos críticos:
  3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas: El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') \). No obtuvimos puntos críticos de acá.
  3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
$ f'(x) = e^{-x^3 + 12x} \cdot (-3x^2 + 12) = 0 $
La exponencial \( e^{-x^3 + 12x} \) nunca es cero, por lo que los puntos críticos se encuentran cuando:
$ -3x^2 + 12 = 0 $
Tenemos dos soluciones:
$ -3x^2 + 12 = 0$


$x^2 = 4$


$|x| = 2$ 


Descomponiendo el módulo nos queda:

$x_1 = -2$ 

$x_2 = 2 $



4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, -2) \): \( f'(-3) = e^{-(-3)^3 + 12(-3)} \cdot (-3(-3)^2 + 12) = e^{27 - 36} \cdot (-27 + 12) = e^{-9} \cdot (-15) < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-2, 2) \): \( f'(0) = e^{0^3 + 12 \cdot 0} \cdot (-3 \cdot 0^2 + 12) = e^{0} \cdot 12 = 1 \cdot 12 > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (2, +\infty) \): \( f'(3) = e^{-3^3 + 12 \cdot 3} \cdot (-3 \cdot 3^2 + 12) = e^{-27 + 36} \cdot (-27 + 12) = e^{9} \cdot (-15) < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.


5. Evaluamos los máximos y mínimos Los puntos \( x = -2 \) y \( x = 2 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = -2 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
-> \( x = 2 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.

Podemos hallar las coordenadas de los extremos sustituyendo \( x = -2 \) y \( x = 2 \) en \( f(x) \):
$ f(-2) = e^{-(-2)^3 + 12(-2)} = e^{-(-8) - 24} = e^{8 - 24} = e^{-16} $
$ f(2) = e^{-2^3 + 12 \cdot 2} = e^{-8 + 24} = e^{16} $  (Acá en las respuestas de la guía cometieron un error, te aviso)


Respuesta: Dominio: \( \mathbb{R} \) Intervalos de crecimiento: \( (-2, 2) \) Intervalos de decrecimiento: \( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \) Mínimo relativo en \( x = -2 \), con coordenadas \( (-2, e^{-16}) \) Máximo relativo en \( x = 2 \), con coordenadas \( (2, e^{16}) \)
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Avatar Milagros 26 de octubre 19:41
Profe md podría explicar como hacer la cuenta en la calculadora para que me de bien los resultados debolzando porque hago la cuenta y no me sale 
Avatar Julieta Profesor 30 de octubre 16:08
@Milagros Hola Mili, se hacen tal cual los ves en la imagen. Literalmente copia eso cuando los hagas. Tené en cuenta que los signos, donde van los paréntesis, que ahí es donde podes meter la pata. Hacelo de poco, de a partes.
Avatar Milagros 26 de octubre 18:21
Profe en la cuenta done igualamos a ceo el tres no pasa siendo positivo y seria -12/3 pero da -4 esta mal? 
Avatar Julieta Profesor 30 de octubre 16:07
@Milagros Hola Mili, primero pasa el -12 y luego el -3: -12/(-3) = 4 😊
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