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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
10.
Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$.
c) $f(x)=e^{-x^{3}+12 x}$
c) $f(x)=e^{-x^{3}+12 x}$
Respuesta
Vamos a resolver el ejercicio paso a paso, tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada.
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1. Primero hallamos el dominio de la función
Tanto la función polinómica como la función exponencial están definidos para todos los números reales.
Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es:
$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} $
2. Calculamos la derivada de la función
$ f'(x) = \left(e^{-x^3 + 12x}\right)' $
Usamos la regla de la cadena:
$ f'(x) = e^{-x^3 + 12x} \cdot (-3x^2 + 12) $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') \). No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
$ f'(x) = e^{-x^3 + 12x} \cdot (-3x^2 + 12) = 0 $
La exponencial \( e^{-x^3 + 12x} \) nunca es cero, por lo que los puntos críticos se encuentran cuando:
$ -3x^2 + 12 = 0 $
Tenemos dos soluciones:
$ -3x^2 + 12 = 0$
$x^2 = 4$
$|x| = 2$
Descomponiendo el módulo nos queda:
$x_1 = -2$
$x_2 = 2 $
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, -2) \): \( f'(-3) = e^{-(-3)^3 + 12(-3)} \cdot (-3(-3)^2 + 12) = e^{27 - 36} \cdot (-27 + 12) = e^{-9} \cdot (-15) < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-2, 2) \): \( f'(0) = e^{0^3 + 12 \cdot 0} \cdot (-3 \cdot 0^2 + 12) = e^{0} \cdot 12 = 1 \cdot 12 > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (2, +\infty) \): \( f'(3) = e^{-3^3 + 12 \cdot 3} \cdot (-3 \cdot 3^2 + 12) = e^{-27 + 36} \cdot (-27 + 12) = e^{9} \cdot (-15) < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = -2 \) y \( x = 2 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = -2 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
-> \( x = 2 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
Podemos hallar las coordenadas de los extremos sustituyendo \( x = -2 \) y \( x = 2 \) en \( f(x) \):
$ f(-2) = e^{-(-2)^3 + 12(-2)} = e^{-(-8) - 24} = e^{8 - 24} = e^{-16} $
$ f(2) = e^{-2^3 + 12 \cdot 2} = e^{-8 + 24} = e^{16} $ (Acá en las respuestas de la guía cometieron un error, te aviso)
Respuesta:
Dominio: \( \mathbb{R} \)
Intervalos de crecimiento: \( (-2, 2) \)
Intervalos de decrecimiento: \( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \)
Mínimo relativo en \( x = -2 \), con coordenadas \( (-2, e^{-16}) \)
Máximo relativo en \( x = 2 \), con coordenadas \( (2, e^{16}) \)